Однонаправленно-армированный непрерывными волокнами слой в первом приближении можно считать однородным и трансверсально изотропным. Свойства термоупругого слоя в простейшем случае описываются соотношениями Дюамеля-Неймана [1, 2]: $$ \begin{pmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \sqrt{2} \varepsilon_{12} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ 0 \end{pmatrix} \Delta T = \begin{pmatrix} 1 / E_1 & - \nu_{21} / E_2 & 0 \\ - \nu_{12} / E_1 & 1 / E_2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 / (2G_{12}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sqrt{2} \sigma_{12} \end{pmatrix} $$ или $$ \boldsymbol{\varepsilon} - \boldsymbol{\alpha} \Delta T = S \boldsymbol{\sigma} $$ $E_j$ - модули Юнга в направлениях параллельных ($j = 1$) и перпендикулярных ($j = 2$) волокнам; $\nu_{ij}$ - коэффициент Пуассона, связывающих действующее в направлении $i$ напряжение с упругой деформацией в направлении $j$; $G_{12}$ - модуль сдвига; $\alpha_j$ - коэффициенты теплового расширения, $\Delta T$ - приращение температуры.
Поскольку из термодинамических ограничений следуют симметрии тензора упругих податливостей и матрицы $S$, справедливо тождество: $\nu_{21} E_1 = \nu_{12} E_2$.
Замечание. Используются обозначения Кельвина или Манделя [3, 4]: $\sigma_{ij} \leftrightarrow (\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sqrt{2} \sigma_{23}, \sqrt{2} \sigma_{13}, \sqrt{2} \sigma_{12})^T$, $\varepsilon_{ij} \leftrightarrow (\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33}, \sqrt{2} \varepsilon_{23}, \sqrt{2} \varepsilon_{13}, \sqrt{2} \varepsilon_{12})^T$. В подавляющем большинстве инженерных курсов применяются обозначения Фойгта, при использовании которых при переходе от тензорной записи к векторно-матричной сдвиговые компоненты тензора напряжений не имеют дополнительных множителей, а сдвиговые компоненты тензора деформаций удваиваются, что приводит к необходимости использовать разные матрицы для преобразования компонентов тензоров напряжений и деформаций, а также матриц упругих податливостей и жесткости. При разработке современных численных методов, напротив, обозначения Кельвина начинают заменять обозначения Фойгта.
Приведенные соотношения могут быть разрешены относительно напряжений $$ \begin{pmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sqrt{2} \sigma_{12} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E_1 / \eta & \nu_{21} E_1 / \eta & 0 \\ \nu_{12} E_2 / \eta & E_2 / \eta & 0 \\ 0 & 0 & 2G_{12} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \varepsilon_{11} - \alpha_1 \Delta T \\ \varepsilon_{22} - \alpha_2 \Delta T \\ \sqrt{2} \varepsilon_{12} \end{pmatrix} ,\quad \eta = 1 - \nu_{12}\nu_{21} $$ или $$ \boldsymbol{\sigma} = Q (\boldsymbol{\varepsilon} - \boldsymbol{\alpha} \Delta T) ,\quad Q = S^{-1} $$
В системе координат $xOy$, повернутой на угол $\theta$ относительно материальной системы координат $x_1Ox_2$, определяющие соотношения принимают вид: \begin{gather*} \bar{\boldsymbol{\varepsilon}} - \bar{\boldsymbol{\alpha}} \Delta T = \bar{S} \bar{\boldsymbol{\sigma}} \\[1em] \bar{\boldsymbol{\sigma}} = \bar{Q}(\bar{\boldsymbol{\varepsilon}} - \bar{\boldsymbol{\alpha}} \Delta T) \\[0.6em] \bar{\boldsymbol{\varepsilon}} = R^{-1} \boldsymbol{\varepsilon} ,\quad \bar{\boldsymbol{\alpha}} = R^{-1} \boldsymbol{\alpha} ,\quad \bar{\boldsymbol{\sigma}} = R^{-1} \boldsymbol{\sigma} ,\\[0.6em] \bar{S} = R^{-1} S R ,\quad \bar{Q} = R^{-1} Q R ,\\[1em] R(\theta) = \begin{pmatrix} c^2 & s^2 & \sqrt{2} sc \\ s^2 & c^2 & -\sqrt{2} sc \\ -\sqrt{2} sc & \sqrt{2} sc & c^2 - s^2 \end{pmatrix} ,\quad s = \sin(\theta) ,\quad c = \cos(\theta) % R^{-1}(\theta) = R^T(\theta) % = % \begin{pmatrix} % c^2 & s^2 & -\sqrt{2} sc % \\ % s^2 & c^2 & \sqrt{2} sc % \\ % \sqrt{2} sc & -\sqrt{2} sc & c^2 - s^2 % \end{pmatrix} \end{gather*}
Mатрица $R$ является ортогональной ($R^{-1} = R^T$).
Термоупругие свойства пакета слоев могут быть получены в рамках классической теории слоистых пластин, основанной на следующих гипотезах[1]:
Зависимости удельных усилий $\boldsymbol{N}$ и моментов $\boldsymbol{M}$ от упругих деформаций $\boldsymbol{\varepsilon}^0$ и кривизн $\boldsymbol{\kappa}$ срединной поверхности пластины определяются соотношениями:
$$ \begin{pmatrix} N_{xx} \\ N_{yy} \\ \sqrt{2} N_{xy} \\ \hdashline M_{xx} \\ M_{yy} \\ \sqrt{2} M_{xy} \end{pmatrix} = \left(\begin{array}{ccc : ccc} A_{11} & A_{12} & A_{16} & B_{11} & B_{12} & B_{16} \\ A_{12} & A_{22} & A_{26} & B_{12} & B_{22} & B_{26} \\ A_{16} & A_{26} & A_{66} & B_{16} & B_{26} & B_{66} \\ \hdashline B_{11} & B_{12} & B_{16} & D_{11} & D_{12} & D_{16} \\ B_{12} & B_{22} & B_{26} & D_{12} & D_{22} & D_{26} \\ B_{16} & B_{26} & B_{66} & D_{16} & D_{26} & D_{66} \end{array}\right) \begin{pmatrix} \varepsilon_{xx}^0 \\ \varepsilon_{yy}^0 \\ \sqrt{2} \varepsilon_{xy}^0 \\ \hdashline \kappa_{xx} \\ \kappa_{yy} \\ \sqrt{2} \kappa_{xy} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \tilde{N}_{xx} \\ \tilde{N}_{yy} \\ \sqrt{2} \tilde{N}_{xy} \\ \hdashline \tilde{M}_{xx} \\ \tilde{M}_{yy} \\ \sqrt{2} \tilde{M}_{xy} \end{pmatrix} $$ или $$ \begin{pmatrix} \boldsymbol{N} \\ \hdashline \boldsymbol{M} \end{pmatrix} = \left(\begin{array}{c : c} A & B \\ \hdashline B & D \end{array}\right) \begin{pmatrix} \boldsymbol{\varepsilon}^0 \\ \hdashline \boldsymbol{\kappa} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \tilde{\boldsymbol{N}} \\ \hdashline \tilde{\boldsymbol{M}} \end{pmatrix} $$ , где \begin{gather*} N_{\alpha\beta} = \int\limits_{-h/2}^{h/2} \sigma_{\alpha\beta} dz ,\quad M_{\alpha\beta} = \int\limits_{-h/2}^{h/2} \sigma_{\alpha\beta} z dz \\ A = \sum\limits_{n = 1}^N \bar{Q}^{(n)}(z_n - z_{n - 1}) ,\quad B = \dfrac{1}{2} \sum\limits_{n = 1}^N \bar{Q}^{(n)}(z_n^2 - z_{n - 1}^2) ,\quad D = \dfrac{1}{3} \sum\limits_{n = 1}^N \bar{Q}^{(n)}(z_n^3 - z_{n - 1}^3) \\ \tilde{\boldsymbol{N}} = \Delta T \sum\limits_{n = 1}^N \bar{Q}^{(n)} \bar{\boldsymbol{\alpha}}^{(n)} (z_n - z_{n - 1}) ,\quad \tilde{\boldsymbol{M}} = \dfrac{\Delta T}{2} \sum\limits_{n = 1}^N \bar{Q}^{(n)} \bar{\boldsymbol{\alpha}}^{(n)} (z_n^2 - z_{n - 1}^2) \end{gather*} $h$ - толщина пластины; $N$ - количество слоев; $(\cdot)^{(j)}$ - переменная относящаяся к $j$-му слою.
Эффективные упругие свойства в плоскости пластины ($E_x$, $E_y$, $G_{xy}$, $\nu_{xy}$) могут быть выражены через компоненты матриц A, B и D [1]. Например, чтобы найти значение $E_x$ рассмотрим процесс изотермического нагружения $\boldsymbol{N} = (N_{xx}, 0, 0)^T$, $\boldsymbol{M} = (0, 0, 0)^T$. Используя уравнения равновесия и определение $E_x$ получим $$ E_x = \dfrac{N_{xx}}{h \varepsilon^0_{xx}(A, B, D, N_{xx})} $$
$\varepsilon^0_{xx}(A, B, D, N_{xx})$ линейная функция $N_{xx}$
Аналогичные выражения можно получить для всех эффективных термоупругих характеристик ламината.
© 2026 Думанский С.А., Думанский А.М., Степанян И.В.